Fuerza Conservativa

En física, un campo de fuerzas es conservativo si el trabajo total realizado por el campo sobre una partícula que realiza un desplazamiento en una trayectoria cerrada (como la órbita de un planeta) es nulo. El nombre conservativo se debe a que para una fuerza de ese tipo existe una forma especialmente simple (en términos de energía potencial) de la ley de conservación de la energía. Las fuerzas que dependen sólo de la posición son típicamente conservativas. Un ejemplo de fuerza conservativa es la fuerza gravitatoria de la mecánica newtoniana.

Criterios de caracterización de una fuerza conservativa

Puede demostrarse que un campo es conservativo si presenta alguna de las propiedades siguientes (de hecho si cumple una de ellas, cumplirá las otras ya que matemáticamente son equivalentes en un conjunto abierto simplemente conexo):

• Hay un campo escalar ${\displaystyle V(\mathbf{r})}$ con:

(1)${\displaystyle \mathbf{F}(\mathbf{r})=-\mathrm{\nabla }V(\mathbf{r})}$

donde ${\displaystyle \mathrm{\nabla }V(r)}$ es el gradiente del campo escalar V(r).

• El trabajo

(2a)${\displaystyle W={\int }_S\mathbf{F}(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{r}}$

a lo largo de un camino cualquiera S a través del campo de fuerza depende sólo de los puntos inicial y final y no de la trayectoria. En particular, el trabajo por una curva cerrada C es cero, también

(2b)${\displaystyle {\oint }_C\mathbf{F}(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{r}=0}$

• El campo es simplemente continuo y cumple la condición de integrabilidad:

(3)${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }{F}_k}{\mathrm{\partial }{x}_i}=\frac{\mathrm{\partial }{F}_i}{\mathrm{\partial }{x}_k}}$. Eso significa que, si la rotación desaparece, también lo hará ${\displaystyle \mathrm{\nabla }\times \mathbf{F}(\mathbf{r})=0}$

Conservatividad local

Cuando se considera el criterio  se debe tener precaución, porque el campo de fuerza puede existir, pero la rotación la hace no conservativa. El ejemplo más conocido es el conductor eléctrico, a cuyo campo magnético asociado se lo representa como:

${\displaystyle \mathbf{F}(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2}\left(\begin{array}{c}-y\\ x\end{array}\right)}$

Aunque la condición integral se cumple, no existe la derivada en el punto cero, por lo que la región no es continua. Entonces no se trata de un campo gradiente, como puede distinguir de la integral cerrada de un círculo unitario. El círculo unitario se parametriza mediante

${\displaystyle C:\mathbf{r}(\phi )=\left(\begin{array}{c}\cos (\phi )\\ \sin (\phi )\end{array}\right)}$ con ${\displaystyle 0\le \phi <2\pi }$.

Con eso la integral cerrada es:

${\displaystyle {\int }_C\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=\int \mathbf{F}(\mathbf{r}(\phi ))\cdot {\mathbf{r}}^{\prime }(\phi )\mathrm{d}\phi ={\int }_0^{2\pi }\left(\begin{array}{c}-\sin (\phi )\\ \cos (\phi )\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-\sin (\phi )\\ \cos (\phi )\end{array}\right)\mathrm{d}\phi ={\int }_0^{2\pi }1\mathrm{d}\phi =2\pi \ne 0}$

Es un campo no conservativo, ya que integral a lo largo de una curva cerrada como lo es una circunferencia de radio 1 centrada en el origen es diferente de cero.

Potencial

El campo escalar  del criterio se llama potencial o energía potencial. El signo menos de este criterio es una convención y tiene un significado profundo, a pesar que su significado fue argumentado en el principio variacional de la mecánica lagrangiana y, por el momento, opera de forma voluntaria. La base de esa convención se puede aclarar por medio del siguiente ejemplo: en la cercanía de la superficie terrestre está la masa m en un potencial gravitacional a una altura h=y bajo una aceleración de la gravedad g > 0, aproximadamente v(y)= + m g y. Debido al sistema de coordenadas en la superficie terrestre es positivo cuando se dirige hacia arriba, debe ser negativo cuando se dirige hacia abajo. Se calcula la fuerza del primer criterio y se obtiene:

${\displaystyle \mathbf{F}(y)=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}V(y)=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}mgy=-mg}$

Esto muestra que la fuerza se ejerce, tal como se esperaba, en dirección al centro de la Tierra.

https://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_conservativa

Ejemplo de Trabajo Realizado por Fuerza Conservativa

Vamos a calcular el trabajo realizado por la fuerza peso (fuerza gravitacional), que es una fuerza conservativa, en las tres situaciones de la figura, suponiendo que la fricción con el aire y con la rampa es cero. 

Figura a

• Fuerza que actúa: P→=−m·g·j→ 
• Desplazamiento: ∆r→=(hf−hi)·j→=−h·j→

Con los datos anteriores, calculamos el trabajo mediante la expresión:

W=P→·∆r→=−m·g·j→·(−h)·j→=m·g·h

Figura b

En este caso hemos de tener presente la nueva orientación del sistema de referencia.

• Fuerza que actúa: P→=m·g·sin(ϑ)·i→−m·g·cos(ϑ)·j→ 
• Desplazamiento: ∆r→=l·i→

Con los datos anteriores, calculamos el trabajo mediante la expresión:

W=P→·∆r→=⎛⎝⎜⎜⎜m·g·sin(ϑ)·i→−m·g·cos(ϑ)·j→⎞⎠⎟⎟⎟·⎛⎝⎜⎜⎜l·i→⎞⎠⎟⎟⎟=m·g·sin(ϑ)·lh=m·g·h

Figura c

• Fuerza que actúa: P→=−m·g·j→
• Desplazamiento: ∆r→=(xf−xi)·i→+(hf−hi)·j→=(xf−xi)·i→+(−h)·j→

Con los datos anteriores, calculamos el trabajo mediante la expresión:

W=P→·∆r→=(−m·g·j→)·[(xf−xi)·i→−h·j]=m·g·h

Conclusión

Como vemos, en los tres casos el trabajo realizado por la fuerza gravitacional es el mismo a pesar de que el cuerpo ha descrito trayectorias diferentes. Podemos concluir que la fuerza gravitacional es una fuerza conservativa, al depender el trabajo realizado por la misma únicamente de los puntos inicial y final.

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